Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinateQuindi si può soddisfare solo la condizione B), prendendo per esempiof(r) = −1, r > 0.In questo modov(r,ϕ) = u 0 (ϕ)−lnr → +∞, r → 0.R. La condizione B), prendendo per esempiof(r) = −1, r > 0.27. [20/4/2006 (ex)II] Si considerino tutte le soluzioni dixu x +yu y = √ x 2 +y 2 f( √ x 2 +y 2 )u,u(cosϕ,sinϕ) = u 0 (ϕ), − π 2 < ϕ < π 2 .È possibile scegliere f ∈ C 0 ((0,∞)) indipendente da u 0 in modo che valgauna sola delle due condizioniA) lim u(x,y) = +∞, B) lim u(x,y) = 0,(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)per tutti gli u 0 ∈ C 1 ([−π/2,π/2]).Dire quale delle due condizioni A) e B) è possibile soddisfare, dando unesempio esplicito di f.SoluzioneIn coordinate polari, denotando con v l’incognita, il problema si scrive comev r (r,ϕ) = f(r)v(r,ϕ),v(1,ϕ) = u 0 (ϕ).Perciòv(r,ϕ) = v(1,ϕ)e ∫ r1 f(s)ds = u 0 (ϕ)e ∫ r1 f(s)ds , r > 0.Quindi si può soddisfare solo la condizione B), prendendo per esempioIn questo modov(r,ϕ) = u 0 (ϕ)e ∫ r1f(r) = 1 r , r > 0.1s ds = u 0 (ϕ)e lnr = u 0 (ϕ)r → 0, r → 0.R. La condizione B), prendendo per esempiof(r) = 1 r , r > 0.44