Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

620. Fourier equazione del calore dim. 1ove la soluzione particolare w n si cercherà nella formaottenendo per semplice sostituzionew n (t) = C 1n t+C 2n ,w n (t) = 4πn 3t− 4πn 5 .Il coefficiente k n si determina ora imponendo la condizione iniziale; si ottiene(α n (t) = γ 1n + 4 )πn 5 e −n2t + 4 4πn 3t− πn 5 .R.u(x,t) = t 2 + x π (2−t2 )+e −t sinx+∞∑ {( 2(−1)nn=1πn+ 4πn 5 )e −n2t + 4πn 3t− 4πn 5 }sin(nx).15. [6/7/2006 (ex)II] Risolvere con il metodo di Fourieru t −u xx = 0, 0 < x < π,0 < t,u(0,t) = 1, 0 < t,u(π,t) = t 3 , 0 < t,u(x,0) = sin2x, 0 < x < π.SoluzioneRiconduciamoci a un problema con dati di Dirichlet nulli al contorno, mediante latrasformazionev(x,t) = u(x,t)−1− x π (t3 −1).La v soddisfav t −v xx = − 3xt2 ,π0 < x < π,0 < t,v(0,t) = 0, 0 < t,v(π,t) = 0, 0 < t,v(x,0) = sin2x− 1 π + x π , 0 < x < π.Usiamo il sistema ortonormale in (0,π)sviluppando la soluzione come√2ψ n (x) = sin(nx), n ≥ 1,πv(x,t) =∞∑α n (t)sin(nx).n=1205