Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

960. Trasformata di Laplace e risoluzione di EDOSoluzioneApplicando la trasformazione di Laplace all’equazione differenziale, e denotandoY = L[y], si has 2 Y +4Y = 1s+1 .DunqueY(s) = 1[ ]1 1s+1s 2 +4 = L[e−x ](s)L2 sin(2x) (s).Ricordando la proprietà della trasformata di Laplace relativa alle convoluzioni difunzioni,[ 1)Y(s) = L e ∗( ]−x 2 sin(2x) (s).Infine (si noti l’abuso di notazione)( 1)e −x ∗2 sin(2x) (x) = 1 2∫ x0e −(x−ξ) sin(2ξ)dξ = 110 (sin(2x)−2cos(2x)+2e−x ).R.y(x) = 110 (sin(2x)−2cos(2x)+2e−x ), x ≥ 0.4. [2/4/2007 (ex)I] Risolvere mediante la trasformazione di Laplace ilproblemay ′′ −4y ′ −5y = e 3x ,y(0) = 1,y ′ (0) = −1.SoluzioneApplicando la trasformazione di Laplace all’equazione differenziale, e denotandoY = L[y], si hada cuiDunques 2 Y(s)−sy(0)−y ′ (0)−4(sY(s)−y(0))−5Y(s) = L[e 3x ](s) = 1s−3 ,Y(s)(s 2 −4s−5) = 1s−3 +s−5.Y(s) = 1 1s−3(s+1)(s−5) + 1s+1= − 1 1 16s−3s+1 + 1 1 16s−3s−5 + 1s+1 ..Ricordando le proprietà della trasformata di Laplace,Y(s) = − 1 6 L[e3x ∗e −x ](s)+ 1 6 L[e3x ∗e 5x ](s)+L[e −x ](s).238