Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

610. Fourier equazione delle ondeQui a > 0, b > 0, β > 0 sono costanti.R.ovet 2u(x,t) = γ 004 + γ cos(2bt)−1004b 2 +∞∑n=1⎧⎨ a[ sin(n−β)π+ sin(n+β)π ], β ≠ n,γ 0n = π n−β n+β⎩a, β = n,⎧γ 0n⎪⎨2cv n (t) =2 n 2 +⎪⎩[ ]v n (t) − v n (0)cos(nct) cos(nx),γ 00 = a sin(βπ) ;βπγ 0n2(c 2 n 2 −4b 2 ) cos(2bt), b ≠ cn 2 ,γ 0n2c 2 n 2 + γ 0n4b tsin(2bt), b = cn 2 .n ≥ 1;20. [15/6/2009 (ex)I] Trovare con il metodo di Fourier la soluzione diu tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u x (π,t) = sin(βt), t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < π,u t (x,0) = 0, 0 < x < π.Qui β > 0 è costante.SoluzionePerridurci aun problemacon dati al bordoomogeneipassiamoalla nuovaincognitache risolve il problemaCerchiamo lo sviluppo in seriev(x,t) = u(x,t)−xsin(βt),v tt −c 2 v xx = β 2 xsin(βt), 0 < x < π,t > 0,v(0,t) = 0, t > 0,v x (π,t) = 0, t > 0,v(x,0) = 0, 0 < x < π,v t (x,0) = −βx, 0 < x < π.v(x,t) =∞∑n=0α n (x)sin 2n+1 x.2I coefficienti α n risolvono i problemiα ′′ n +c 2( 2n+1) 2αn= β 2 γ 0n sin(βt),2α n (0) = 0,α ′ n (1) = −βγ 0n,195