Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

310. Formula di D’AlembertSoluzionePer la formula di D’Alembert si ha∫1lim u(x,t) = limt→∞ t→∞ 2cx+ctx−ctu 1 (s)ds = 1 2c∫+∞−∞u 1 (s)ds =: U ∞ .R.U ∞ = 1 2c∫Ru 1 (x)dx.2. [30/1/2003 (hw)I] a) Dare un esempio di dati u 0 , u 1 , ciascuno nonidenticamente nullo, tali che la soluzione disoddisfiu tt −c 2 u xx = 0, x ∈ R, t > 0,u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R,u t (x,0) = u 1 (x), x ∈ R,lim u(x,t) = 0,t→+∞per ogni x fissato.b) Dare un esempio di dati u 0 , u 1 , ciascuno non identicamente nullo, taliche la soluzione del problema precedente soddisfilim u(x,t) = 0,x→+∞per ogni t > 0 fissato.Soluzionea) Per semplicità imponiamo che le due parti della formula di D’AlembertJ 1 = 1 2 [u 0(x−ct)+u 0 (x+ct)],J 2 = 1 x+ct ∫u 1 (s)ds,2cx−ctvadano ciascuna a zero. Dunque chiediamoePer esempiolim u 0(s) = lim u 0(s) = 0,s→∞ s→−∞u 1 integrabile in R, con∫Ru 1 (s)ds = 0.u 0 (s) = e −s2 , u 1 (s) = se −s2 , s ∈ R.Oppure, eliminando la richiesta che ciascuna J i vada a zero, e chiedendo solo J 1 +J 2 → 0, si può prendere√ π s 2u 0 (s)−2c 1+s 2 , u 1(s) = e −s2 , s ∈ R.67