Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

300. Equazione delle ondeSi noti che sia f che g sono calcolate sempre in argomenti non negativi. Dunque,per le condizioni al contorno,f ′ (0)+g ′ (2ct) = 0, t > 0,−cf ′ (−2ct)+cg ′ (0) = 0, t < 0.Dalla prima di queste equazioni segue che g ′ è costante, mentre dalla seconda segueche anchef ′ lo è; più in particolarele due equazionisi possonocombinareottenendof ′ = −g ′ = −f ′ ,che implica che entrambe f ′ e g ′ si annullino. Quindi f e g sono costanti e la tesiè dimostrata.9. [16/9/2008 (ex)II] Si dimostri che se u ∈ C 2 (Q) soddisfaallora u è costante in Q, oveu tt −c 2 u xx = 0, (x,t) ∈ Q,u t (ct,t) = 0, t > 0,u x (−ct,t) = 0, t < 0,Q = {(x,t) | −∞ < t < ∞,c|t| < x < ∞}.10. [12/1/2009 (ex)I] Una funzione u ∈ C 2 (R 2 ) soddisfau tt −c 2 u xx = 0, in R 2 ,u(ct,t) = 0, 0 ≤ t ≤ L c ,u(L,t) = 0, 0 ≤ t ≤ L c ,ove L, c sono costanti positive.Determinare un aperto Ω di R 2 ove u ≡ 0.SoluzioneSi sa cheu(x,t) = f(x−ct)+g(x+ct),da cui si ottiene subito, per le condizioni assegnate,f(0)+g(2ct) = 0,f(L−ct)+g(L+ct) = 0,per 0 ≤ t ≤ L/c.Queste due condizioni possono essere riscritte (introducendo le nuove variabili y =2ct e z = L−ct) comeg(y) = −f(0), 0 ≤ y ≤ 2L,f(z) = −g(2L−z), 0 ≤ z ≤ L.65