Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

420. Applicazioni del principio di max a prb per eq. del calorePerciò resta provatoe in particolareseR.(u(x,t) ≤ cLe − π2 πx)4L 2Dt sin ,2Lu(L,t) ≤ cLe − π24L 2 Dt ≤ cL 2 ,t ≥ ¯t = 4L2π 2 D ln2.¯t = 4L2π 2 D ln2.20. [12/2/2009 (ex)II] Si consideri la soluzione del problemau t −Du xx = 0, −L < x < L,t > 0,u(−L,t) = 0, t > 0,u(L,t) = 0, t > 0,u(x,0) = c(L−|x|), −L < x < L.Qui D, L, c sono costanti positive.Determinare un istante ¯t in funzione di D, L, c, in cuiu(0,¯t) ≤ 1 2 u(0,0) = 1 2 cL.R.¯t = 4L2π 2 D ln2.21. [13/7/2009 (ex)I] Si trovino tutti i punti di minimo e il valore di minimodella soluzione diu t −Du xx = 0, 0 < x < π,t > 0,u(0,t) = 1 t > 0,u x (π,t) = 1 t > 0,u(x,0) = x2π−x+1, 0 < x < π.SoluzioneI punti di minimo possono venire assunti solo sulla frontiera parabolica per il principiodi massimo. Però su x = π, t > 0, non possono esserci punti di minimo,perché in un punto (π,¯t), ¯t > 0, che fosse di minimo si dovrebbe avereu x (π,¯t) ≤ 0,100