Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

630. Fourier equazione di LaplaceI coefficienti α n risolvono i problemi per n ≥ 1Dunque, si haα ′ n +Dn2 α n = γ 0n := 2 πα n (0) = γ 1n := − 2 πα n (t) =∫ π0∫ π0asinnxdx = 2aπn [1−(−1)n ],b 2bxsinnxdx =π nπ (−1)n .(γ 1n − γ 0nDn 2 )e −Dn2t + γ 0nDn 2 .R.oveu(x,t) = b π x+ ∞ ∑n=1γ 0n = 2aπn [1−(−1)n ],[(γ 1n − γ )0nDn 2 e −Dn2t + γ ]0nDn 2 sinnx,γ 1n = 2bnπ (−1)n , n ≥ 1.23. [15/9/2009 (ex)II] Trovare con il metodo di Fourier la soluzione diu t −Du xx = a, 0 < x < π,t > 0,u(0,t) = b, t > 0,u(π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < π.Qui a, b sono costanti positive.R.(u(x,t) = b 1− x ) ∞∑ [(+ γ 1n − γ )0nπ Dn 2 e −Dn2t + γ ]0nDn 2 sinnx,oven=1γ 0n = 2aπn [1−(−1)n ],γ 1n = − 2bnπ , n ≥ 1.630. Fourier equazione di Laplace1. [4/3/2003 (hw)I] Trovare la soluzione del problemau xx +u yy = 0, 0 < x < L,0 < y < H,u x (0,y) = 0, 0 < y < H,u y (x,H) = 0, 0 < x < L,u(L,y) = 1, 0 < y < H,u(x,0) = x, 0 < x < L.214