Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

610. Fourier equazione delle ondeSostituendo nella (1) si determina la costanteγ 0nC 1n = −2c 2 (2n+1) 2 .Dunque per n ≥ 1 la soluzione di (1)–(2) èα n (t) = k 1n cos(2n+1)ct+k 2n sin(2n+1)ct+C 1n ,ove le costanti k 1n e k 2n sono determinate imponendo le condizioni inizialiα n (0) = k 1n +C 1n = 0,α ′ n (0) = c(2n+1)k 2n = γ 0n .R.oveu(x,t) = t 2 +∞∑α n (t)sin(2n+1)x,n=08 ( )α n (t) = − 1−cos(2n+1)ctπc 2 (2n+1) 3+4πc(2n+1) 2 sin(2n+1)ct.17. [14/12/2007 (ex)I] Trovare con il metodo di Fourier la soluzione diu tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,0 < t < ∞,u(0,t) = sinωt, 0 < t < ∞,u(π,t) = sinωt, 0 < t < ∞,u(x,0) = 0, 0 < x < π,u t (x,0) = ω, 0 < x < π.Qui ω > 0 è una costante.SoluzioneRiconduciamoci a un problema con dati omogenei al contorno, per esempio con ilcambiamento di incognitaSi verifica che v risolve il problemav(x,t) = u(x,t)−sinωt.v tt −c 2 v xx = ω 2 sinωt, 0 < x < π,0 < t < ∞,v(0,t) = 0, 0 < t < ∞,v(π,t) = 0, 0 < t < ∞,v(x,0) = 0, 0 < x < π,v t (x,0) = 0, 0 < x < π.191