Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinateper cui la e.d.p. divienerv r = g(r,ϕ)r,ossiav r = g(r,ϕ),da cuiv(2,ϕ)−v(1,ϕ) =∫ 21g(r,ϕ)dr = 2sinϕ−cosϕ.R.∫ 21f(rcosϕ,rsinϕ)dr = 2sinϕ−cosϕ, 0 ≤ ϕ < 2π.8. [14/4/2004 (ex)II] Trovare una condizione sulla funzione f affinché ilseguente problema sia risolubilexu x +yu y = f(x,y) √ x 2 +y 2 , 4 < x 2 +y 2 < 9,u(x,y) = y, x 2 +y 2 = 4,u(x,y) = x, x 2 +y 2 = 9.R.∫ 32f(rcosϕ,rsinϕ)dr = 3cosϕ−2sinϕ, 0 ≤ ϕ < 2π.9. [15/9/2004 (ex)I] Calcolare la soluzione dixu x +yu y = arctg y x ,u(x,y) = y 2 , x 2 +y 2 = 4,x > 0,e trovarne l’aperto massimale di definizione. Esprimere la soluzione sia incoordinate polari che in coordinate cartesiane.10. [15/9/2004 (ex)I] Risolvereyu x −xu y = 3x,u(x,x) = √ x 2 +y 2 , x > 0.11. [15/9/2004 (ex)II] Calcolare la soluzione dixu x +yu y = x,u(x,y) = y 2 , x = 1,37