Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

630. Fourier equazione di Laplaceove per n ≥ 1γ 0n = − 2πn 2[(−1)n −1], γ 1n = − 2πn 2 .Inoltre per n = 0 si haα ′′0 = − y π , 0 < y < 1,α n (0) = 1 πα ′ n (1) = 1 π∫ π0∫ π0xdx = π 2 ,Gli integrali generali hanno la forma) (x− x2dx = π 2π 3 .α 0 (y) = − y36π +k 10y +k 20 , α n (y) = k 1n e −ny +k 2n e ny .Sostituendo i dati al bordo si ottengono i coefficienti.R.u(x,y) = x2 y(2π − y3 π6π + 3 − 1 )y + π 2π 2∞∑ (ne n γ 0n −γ 1n )e −ny +(ne −n γ 0n +γ 1n )e ny+n(e n +e −n )Quin=1γ 0n = − 2πn 2[(−1)n −1], γ 1n = − 2πn 2 .cos(nx).17. [28/3/2008 (ex)II] Trovare con il metodo di Fourier la soluzione diR.Quiu(x,y) = (x−π)2 y2π∆u = 0, 0 < x < π,0 < y < 1,u x (0,y) = y, 0 < y < 1,u x (π,y) = 0, 0 < y < 1,u y (x,0) = x, 0 < x < π,u(x,1) = x, 0 < x < π.− y36π + π 3 y + 16π∞∑ (n−e n )e −ny +(n+e −n )e ny+n(e n +e −n )n=1γ 0n = 2πn 2[(−1)n −2].225γ 0n cos(nx).