Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

480. Semplici problemi al contorno per l’equazione di Laplacee in particolare, per esempio,v(x,−1) = −1 < 0, − 1 2 < x < 1 2 . (1)Dunque per il principio di massimo forte v ≤ 0 in Ω, e anzi v < 0 in Ω perchéaltrimenti si avrebbe v ≡ 0 in Ω contro la (1). Quindiu(x,y)+y < 0 in Ω.15. [23/6/2005 (ex)I] Sia u la soluzione del problema∆u = 0, in Ω = {(x,y) | 4 < x 2 +y 2 < 9},u = x 2 y 2 , su ∂Ω.Dimostrare che u assume tutti i suoi valori nel sottoinsieme di Ω dato daΩ ∩{(x,y) | y ≥ x ≥ 0}.16. [23/6/2005 (ex)II] Sia u la soluzione del problema∆u = 0, in Ω = {(x,y) | 1 < |x|+|y| < 2},u = |xy|, su ∂Ω.Dimostrare che u assume tutti i suoi valori nel sottoinsieme di Ω dato daΩ ∩{(x,y) | x ≥ y ≥ 0}.17. [15/12/2005 (ex)I] Trovare l’unica soluzione radiale del problema∆u = 0, x 2 +y 2 > 1,u(x,y) = 1, x 2 +y 2 = 1,lim u(x,y) = 1.x 2 +y 2 →∞18. [20/9/2007 (ex)I] Trovare la soluzione radialeu(x,y) = v ( √x 2 +y 2) ,129