Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristicheInfine torniamo alle variabili (x,y), risolvendo il sistemaDa quise τ = x,τ = y.u(x,y) = ey1+e y , (x,y) ∈ R2 .il cui aperto di definizione sarà sottoposto alle restrizioni sopra.R.u(x,y) = ey1+e y , (x,y) ∈ R2 .31. [15/12/2006 (ex)I] Risolvere il problema di Cauchy2xu x −u y = −u 2 ,u(s,lns) = 1, 0 < s < ∞,specificando l’aperto massimale di definizione Ω della soluzione.Si dimostri anche che, in Ω, u non cambia mai segno.SoluzioneTroviamo le curve caratteristiche al suolo risolvendo il sistemaϕ ′ 1 = 2ϕ 1, ϕ 1 (0;s) = s,ϕ ′ 2 = −1,ϕ 2 (0;s) = lns.Questo sistema ammette l’unica soluzione(ϕ1 (τ;s),ϕ 2 (τ;s) ) = (se 2τ ,−τ +lns), τ ∈ R.Risolviamo poi l’equazione differenziale sulle caratteristiche al suolo:U ′ = −U 2 ,U(0;s) = 1.Procedendo per separazione delle variabili si ottieneda cuiddτ1U = 1,U(τ;s) = 1 , −1 < τ < ∞.1+τInfine torniamo alle variabili (x,y), risolvendo il sistemase 2τ = x,−τ +lns = y.Da quis = xe −2τ , τ = 1 3 (lnx−y),18