Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

420. Applicazioni del principio di max a prb per eq. del calore10. [20/9/2006 (ex)I] Sia u la soluzione diDimostrare cheu t −u xx = 0, 0 < x < π ,t > 0,2u(0,t) = 1, t > 0,( π)u2 ,t = 2, t > 0,SoluzioneConsideriamo la nuova incognitaQuesta soddisfau(x,0) = cosx+ 4x π , 0 < x < π 2 .lim u(x,t) = 1+ 2xt→∞ π , 0 < x < π 2 .v(x,t) = u(x,t)−1− 2x π .v t −v xx = 0, 0 < x < π ,t > 0,2v(0,t) = 0, t > 0,( π)v2 ,t = 0, t > 0,v(x,0) = cosx−1+ 2x π , 0 < x < π 2 .Costruiamo un maggiorante di v che tenda a zero per t → ∞. Consideriamo peresempiow(x,t) = Ce − t 4 cosx2 ,che soddisfaw t −w xx = 0, 0 < x < π ,t > 0,2w(0,t) > 0 = v(0,t), t > 0,( π) ( π)w2 ,t > 0 = v2 ,t , t > 0,w(x,0) = Ccos x 2 , 0 < x < π 2 .Si potrà dunque invocare il principio di massimo per asserire che w ≥ v se determiniamoC in modo chew(x,0) ≥ v(x,0), 0 < x < π 2 .Ma per tali x si ha, scegliendo per esempio C = √ 2,w(x,0) = Ccos x 2 ≥ C √2≥ 2 ππ2 ≥ 2 π x ≥ cosx−1+ 2 π x = v(x,0).92