Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

470. Semplici problemi al contorno per l’equazione del caloreSi vuole avere u(0,1) ≤ cLe −α2 ≤ u(0,0)/2 = cL/2, ossia L ≤ π/(2 √ ln2).4. [16/4/2003 (ex)I] Dimostrare che se u è la soluzione diu t −u xx = 0, − π 4 < x < π ,0 < t < ∞,4u(− π )4 ,t = 1, 0 < t,( π)u4 ,t = 1, 0 < t,u(x,0) = e |x|−π 4 , − π 4 < x < π 4 ,allora per ogni x ∈ (−π/4,π/4) fissatolim u(x,t) = 1.t→∞SoluzionePer il principio di massimo u ≤ 1 (infatti il dato iniziale è un esponenziale conesponente non positivo). Basterà quindi dimostrare che u ≥ v conScegliamolim v(x,t) = 1, −πt→∞ 4 < x < π 4 . (1)v(x,t) = 1−Ce −t cosx,con C > 0 da scegliere cosicché (1) è senz’altro verificata. Valgonov t −v xx = 0, − π 4 < x < π ,0 < t,4v(− π )4 ,t = 1− √ C e −t ≤ u(− π )2 4 ,t = 1, 0 < t,( π)v4 ,t = 1− √ C ( π)e −t ≤ u 2 4 ,t = 1, 0 < t,v(x,0) = 1−Ccosx ≤ 1− C √2≤ e −π 4 ≤ u(x,0),−π4 < x < π 4 ,se C ≥ √ 2(1−e −π/4 ). Quindi u ≥ v per il principio di massimo.5. [16/4/2003 (ex)II] Dimostrare che se u è la soluzione diu t −u xx = 0, 0 < x < π ,0 < t < ∞,2u(0,t) = 3, 0 < t,( π)u2 ,t = 3, 0 < t,(u(x,0) = 3−x x− π ), 0 < x < π 2 2 ,allora per ogni x ∈ (0,π/2) fissatolim u(x,t) = 3.t→∞114