Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristiche46. [15/6/2009 (ex)I] Trovare la soluzione dixu x +u y = x(1+y)u,u(s,0) = − 1lns , s > 1.Trovare anche l’aperto massimale di definizione.SoluzioneA) Troviamo le caratteristiche al suolo, risolvendo il sistema caratteristicoSi ottiene immediatamenteϕ ′ 1 = ϕ 1 , ϕ 1 (0) = s,ϕ ′ 2 = 1, ϕ 2(0) = 0.(ϕ 1 (τ;s),ϕ 2 (τ,s)) = (se τ ,τ), τ ∈ R.B) Si risolve quindi la e.d.o. sulle caratteristiche al suoloottenendo per separazione delle variabiliU ′ = se τ (1+τ)U ,U(0) = − 1lns ,U(τ;s) = − 1lns expseτ τ , τ ∈ R.C) Infine si torna alle variabili (x,y) invertendo il sistemache dàSi noti che la restrizione s > 1 implicase τ = x, τ = y,s = xe −y , τ = y.lns = lnx−y > 0,che definisce l’aperto massimale di definizione, insieme con x > 0.R.1u(x,y) =y −lnx exy ,definita inΩ = {(x,y) | x > 0,y < lnx}.47. [13/7/2009 (ex)I] Trovare la soluzione diu xx + u yy = 1 u ,(u s, 2 )= 1, s > 0.s30