Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristichecha ha per soluzioneU(τ;s) = s ( e−(1− √ 2)τ2 √ √ + e−(1+√ 2)τ )√ , τ ∈ R,2 2−1 2+1per ogni s > 0.C) Torniamo infine alle variabili (x,y). Il sistema da risolvere sarebbes(2 √ ( √ 2−1)e −(1+√2)τ +( √ ) 2+1)e −(1−√ 2)τ= x,2s2 √ (−e−(1+ √ 2)τ +e −(1−√ 2)τ ) = y.2Tuttavia non è necessario svolgere tutti i calcoli; basta osservare che la primaequazione dà subitos2 √ 2( e−(1− √ 2)τ√2−1+ e−(1+√ 2)τ√2+1)= x.R.u(x,y) = x.33. [2/4/2007 (ex)II] Risolvere il problema di Cauchy(y −2x)u x +xu y = x,u(0,s) = s, 0 < s < ∞.[Sugg.: al momento di tornare alle variabili (x,y) non sarà necessario risolveredel tutto il sistema.]R.u(x,y) = y.34. [12/7/2007 (ex)I] Si trovi la soluzione del problema di Cauchyxu x −yu y = e u ,u(s,s) = s, s > 0,specificandone l’aperto massimale di definizione Ω e dimostrando cheΩ ⊂ {(x,y) | 0 < x < ye 2 }.SoluzioneA) Risolviamo il sistema delle caratteristiche al suoloϕ ′ 1 = ϕ 1 , ϕ 1 (0) = s,ϕ ′ 2 = −ϕ 2, ϕ 2 (0) = s.20