Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali
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520. Formula <strong>di</strong> rappresentazione eq. del calore21. [12/7/2007 (ex)II] Scrivere m<strong>ed</strong>iante la formula <strong>di</strong> rappresentazione <strong>di</strong>soluzioni del problema <strong>di</strong> Cauchy per l’equazione del calore la soluzione <strong>di</strong>R. La soluzione èu t −u xx = 0, 0 < x < π,t > 0,u(x,t) = 12 √ πtu(0,t) = 0, t > 0,u x (π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 11+x 2 , 0 < x < π.∫ ∞−∞u 0 (ξ)e −(x−ξ)2 4t dξ, 0 < x < π,t > 0,ove u 0 è perio<strong>di</strong>ca su R con periodo 4π, e⎧sign(x)⎪⎨ , 0 < |x| < π;1+x2 u 0 (x) =sign(x) ⎪⎩ , π < |x| < 2π.1+(2π −x)222. [14/12/2007 (ex)I] Scrivere m<strong>ed</strong>iante la formula <strong>di</strong> rappresentazione peril problema <strong>di</strong> Cauchy per l’equazione del calore la soluzione <strong>di</strong>u t −u xx = 0, 0 < x < π,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u x (π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = xsinx, 0 < x < π.SoluzioneOccorre riflettere il dato iniziale in modo pari intorno a x = π, e in modo <strong>di</strong>spariintorno a x = 0.Si ottiene l’estensione{|x|sinx, −π < x < π,ũ 0 (x) =|2π −x|sin(2π −x), π < x < 3π.La ũ 0 va poi intesa come estesa a tutto R in modo perio<strong>di</strong>co, con periodo 4π.R. La soluzione èu(x,t) = √ 1 ∫∞2πt−∞ũ 0 (s)e −|x−s|2 4t ds, 0 < x < π,t > 0,142