Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinateR.arctg(∫y x )u(x,y) = x 2 +y 2 + exp( √ x 2 +y 2 sint)dt x > 0;0∫ ϕv(r,ϕ) = r 2 + e rsint dt, − π 2 < ϕ < π 2 .030. [2/4/2007 (ex)I] Trovare tutte le possibili costanti a, b ∈ R, tali cheesista una soluzione u ∈ C 1 (R 2 ) diyu x −xu y = ax 2 −by 2 ,u(s,0) = 0, 0 < s < ∞,e determinare la funzione u.SoluzionePassiamo alle coordinate polari (r,ϕ). Postosi hav(r,ϕ) = u(rcosϕ,rsinϕ),−v ϕ = ar 2 cos 2 ϕ−br 2 sin 2 ϕ,v(s,0) = 0, 0 < s < ∞.Integrando su (0,ϕ) si ha, usando anche il dato di Cauchy,v(r,ϕ) =∫ ϕ0(br 2 sin 2 θ−ar 2 cos 2 θ ) dθ = b−a2 r2 ϕ− b+a4 r2 sin2ϕ.Se v deve essere continua in R 2 si dovrà intanto averePerciò deve essere a = b. In questo casov(r,2π) = v(r,0) = 0, r > 0.v(r,ϕ) = −ar 2 sinϕcosϕ,eu(x,y) = −axyrisulta di classe C 1 (R 2 ).R.a = b, u(x,y) = −axy, (x,y) ∈ R 2 .46