Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristicheSoluzioneSi noti che i termini 1/x e 1/y presenti nell’equazione impediscono a x e a y diannullarsi; visto che la curva che porta il dato è contenuta nel primo quadrante,anche l’aperto massimale di definizione della soluzione sarà contenuto nel primoquadrante.A) Troviamo le caratteristiche al suolo, risolvendo il sistema caratteristicoϕ ′ 1 = 1 ϕ 1, ϕ 1 (0) = s,ϕ ′ 2 = 1 ϕ 2, ϕ 2 (0) = 2 s .Si ottiene integrando per separazione di variabilicioè(ϕ 1 (τ;s),ϕ 2 (τ,s)) =(√2τ +s2 ,ϕ i (τ) = √ 2τ +ϕ i (0) 2 ,B) Si risolve quindi la e.d.o. sulle caratteristiche al suoloottenendo per separazione delle variabili√2τ + 4 )s 2 , τ > max(− s22 ,− 2 )s 2 .U ′ = 1 U ,U(0) = 1,U(τ;s) = √ 1+2τ , τ > − 1 2 .C) Infine si torna alle variabili (x,y) invertendo il sistema√√2τ +s2 = x, 2τ + 4 s 2 = y,che dà (ricordando s > 0)√xs =2 −y 2 + √ (y 2 −x 2 ) 2 +16, τ = x2 +y 2 − √ (y 2 −x 2 ) 2 +16.24Si noti che le restrizioni su τ trovate risolvendo il sistema caratteristico sono automaticamentesoddisfatte, mentre imponendo la τ > −1/2 si ha dai calcoli√3−x2y >x 2 +1 , 0 < x < √ 3,che definisce l’aperto massimale di definizione, insieme con x > 0, y > 0.R.u(x,y) = 1 √2√2+x 2 +y 2 − √ (y 2 −x 2 ) 2 +16,31