Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

520. Formula di rappresentazione eq. del caloreMaggioriamo la u a partire dalla formula di rappresentazione:u(x,t) = 12 √ πt≤ 12 √ πt∫ ∞−∞∫ ∞−∞e −(x−ξ)2 4t= √ 1 [− 1 ] ∞πt 1+ξ 2 02|ξ|(1+ξ 2 ) 2 dξ2|ξ|(1+ξ 2 ) 2 dξ = 1∫∞√πt0= 1 √πt< 110 ,2ξ(1+ξ 2 ) 2 dξse t > 100/π.R.t 0 = 100π .16. [7/4/2006 (ex)II] Sia u l’unica soluzione limitata diu t −u xx = 0, −∞ < x < ∞,t > 0,u(x,0) =2e 2|x|(1+e 2|x| , −∞ < x < ∞.) 2Determinare un tempo t 0 tale che per ogni t ≥ t 0u(x,t) < 1 , −∞ < x < ∞.10[Si noti che maxu(x,0) ≥ u(0,0) = 1/2 > 1/10, quindi dovrà essere t 0 > 0.]SoluzioneMaggioriamo la u a partire dalla formula di rappresentazione:u(x,t) = 12 √ πt≤ 12 √ πt∫ ∞−∞∫ ∞−∞e −(x−ξ)2 4t= √ 1 [− 1 ] ∞πt 1+e 2ξ 02e 2|ξ|(1+e 2|ξ| ) 2 dξ2e 2|ξ|(1+e 2|ξ| ) 2 dξ = 1∫∞√πt0= 1 √πt12 < 1 10 ,2e 2ξ(1+e 2ξ ) 2 dξse t > 25/π.R.t 0 = 25π .17. [2/4/2007 (ex)I] Sia u 0 unafunzione continua e limitata su R, periodicacon periodo a > 0.139