Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

310. Formula di D’AlembertPerciòper ε piccolo a sufficienza, e|(x−ct,x+ct)∩(−ε,ε)| = ε,u ε,σ (x,t) = ε1−σ4c ,|x| = ct.C) Se |x| < ct, si hax−ct < 0 < x+ct,da cui(x−ct,x+ct)∩(−ε,ε) = (−ε,ε),per ε piccolo a sufficienza, eu ε,σ (x,t) = ε1−σ2c ,|x| < ct.R.lim u ε,σ(x,t) =ε→0⎧⎪⎨ 0, |x| > ct,14c ⎪⎩l σ, |x| = ct,12c l σ, |x| < ct.4. [28/6/2004 (ex)I] Determinare λ 0 > 0 in modo che per ogni λ ∈ (0,λ 0 )valga|u(x,t)−1−t| ≤ 1 , −∞ < x < ∞,0 < t < 1,10oveu tt −c 2 u xx = 0, −∞ < x < ∞,0 < t,u(x,0) = 1+λsinx, −∞ < x < ∞,u t (x,0) = 1, −∞ < x < ∞.5. [28/6/2004 (ex)II] Determinare λ 0 > 0 in modo che per ogni λ ∈ (0,λ 0 )valgaove|u(x,t)−2−2t| ≤ 1 , −∞ < x < ∞,0 < t < 2,10u tt −c 2 u xx = 0, −∞ < x < ∞,0 < t,u(x,0) = 2+λe −x2 , −∞ < x < ∞,u t (x,0) = 2, −∞ < x < ∞.69