Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

470. Semplici problemi al contorno per l’equazione del calore17. [18/4/2007 (ex)II] Si consideri la soluzione del problemaTrovareR.u t −u xx = 2u, 0 < x < π,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u(π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = u 0 (x), 0 < x < π.1. un esempio di dato iniziale u 0 ∈ C([0,π]) per cui la soluzione divieneillimitata per t → ∞;2. un esempio di dato iniziale u 0 ∈ C([0,π]), u 0 ≢ 0, per cui la soluzionerimane limitata su (0,π)×(0,∞).1) u 0 (x) = sinx, 0 ≤ x ≤ π;2) u 0 (x) = sin2x, 0 ≤ x ≤ π.18. [15/9/2009 (ex)I] Si consideri il problemau t −Du xx = a−u, 0 < x < L,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u(L,t) = 0, t > 0,u(x,0) = u 0 (x), 0 < x < L.ove a ∈ R è una costante, e u 0 ∈ C([0,L]).Determinare la funzione ω(x) tale chelim u(x,t) = ω(x), 0 < x < L,t→∞e dimostrare tale relazione.SoluzioneLa funzione ω si determina risolvendo il problema al contorno−Dω ′′ = a−ω, 0 < x < L,ω(0) = ω(L) = 0.L’equazione differenziale ha come integrale generaleω(x) = k 1 e x √D +k2 e − x √D +a,ove imponendo le condizioni ai limiti si ottieneLk 1 = a e− √D −1,√e LD−√ −e LDk 2 = a√e LD −1e − √ L √DL.D −e122