Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinateQuindiu(x,y) = πe 2−√ x 2 +y 2 .La u è continua come composizione di funzioni continue. Tuttavia, e.g.,u x = −πe 2−√ x 2 +y x 2√x2 +y , 2che non è continua. In alternativa, si può ragionare così: v è radiale; dunque peressere di classe C 1 nell’origine, dovrebbe essere v r → 0 per r → 0, mentre invecev r → −πe 2 per r → 0.R.u(x,y) = πe 2−√ x 2 +y 2 , x 2 +y 2 > 0.5. [16/4/2003 (ex)II] Calcolare la soluzione del problemaxu x +yu y = −u,u(x,y) = π, x 2 +y 2 = 4,e dimostrare che non è continua in R 2 . (Sugg. Considerare la particolaregeometria del problema.)R.2πu(x,y) = √x2 +y , 2 x2 +y 2 > 0.6. [20/1/2004 (hw)I] Trovare la soluzione definita nel semipiano x > 0 diyu x −xu y = x+1,u( √ s,0) = s, s > 0.R.u(x,y) = −y−arctg y x +x2 +y 2 , x > 0.7. [14/4/2004 (ex)I] Trovare una condizione sulla funzione f affinché ilseguente problema sia risolubileSoluzioneIn coordinate polari r, ϕ,xu x +yu y = f(x,y) √ x 2 +y 2 , 1 < x 2 +y 2 < 4,u(x,y) = x, x 2 +y 2 = 1,u(x,y) = y, x 2 +y 2 = 4.v(r,ϕ) = u(x,y),g(r,ϕ) = f(x,y),36