Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinateDa qui tornando alle variabili cartesiane(u(x,y) = β 2 y−2 )x−1 +2 +αln x−1 , x > 1.2B) La soluzione è estendibile a tutto il piano come funzione C 1 se e solo se α =β = 0, ossia se essa è nulla.R.(u(x,y) = β 2 y−2 )x−1 +2 +αln x−1 , x > 1.2α = β = 0.42. [16/9/2008 (ex)II] Scrivere la soluzione del seguente problema:(x+1)u x +(y −1)u y = α,u(1,s) = βs, s ∈ R,ove α, β ∈ R sono costanti.Inoltre si trovino i valori di α, β ∈ R che rendono la soluzione estendibile atutto il piano come funzione di classe C 1 .R.(u(x,y) = β 2 y −1 )x+1 +1 +αln x+1 , x > −1.2α = β = 0.43. [12/2/2009 (ex)I] Si consideri il problema−yu x +xu y = ax+b,u(s,0) = cs, s > 0,ove a, b, c sono costanti.Trovare tutti i valori di a, b, c per cui esiste una soluzione del problema inC 1( R 2 \{(0,0)} ) , e scrivere tale soluzione sia in coordinate cartesiane chepolari.SoluzionePassiamo alle variabili polariIl problema divienev(r,ϕ) = u(rcosϕ,rsinϕ).v ϕ = arcosϕ+b,v(r,0) = cr, r > 0.52