Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

530. Formula di rappresentazione eq. di Laplace nel semipiano20. [14/7/2008 (ex)I] Trovare la soluzione di∆u = 0 −∞ < x < 0,−∞ < y < 0,u(x,0) = e x , −∞ < x < 0,u x (0,y) = 0, −∞ < y < 0,mediante l’opportuna formula di rappresentazione.SoluzioneOccorre riflettere il dato in modo pari intorno a x = 0, ottenendo:ũ 0 (x) = e −|x| , −∞ < x < ∞.R.u(x,y) = 1 π∫ ∞−∞|y|(x−ξ) 2 +y 2e−|ξ| dξ, −∞ < x < 0,−∞ < y < 0.21. [14/7/2008 (ex)II] Trovare la soluzione di∆u = 0 −∞ < x < 0,−∞ < y < 0,u(x,0) = 0, −∞ < x < 0,u(0,y) = e y , −∞ < y < 0,mediante l’opportuna formula di rappresentazione.R.u(x,y) = − 1 ∫ ∞sign(ξ)e −|ξ| |x|π x 2 dξ, x < 0,y < 0.+(y −ξ)2−∞22. [12/1/2009 (ex)I] Risolvere con la formula di rappresentazione per ilproblema nel semipiano per l’equazione di Laplace il problema∆u = 0, x > 0,y > 0,( y)u(0,y) = arcsin , y > 0,1+yu y (x,0) = 0, x > 0.SoluzionePer ricondurre il problema a uno nel semipiano x > 0 occorre riflettere il dato sux = 0 in modo pari intorno all’origine. Dunque l’estensione del dato sarà( |y|)ũ 0 (y) = arcsin , y ∈ R.1+|y|155