Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

610. Fourier equazione delle ondeQuiPerciòγ 0n = 2 πγ 1n = 2 π∫ π0∫ π0x−ππsinnxdx = − 2nπ ,x 2sinnxdx = (−1)n+1π nπ .α n (t) = k 1n cos(cnt)+k 2n sin(cnt)+w n (t),ove la soluzione particolare w n si ricerca nella formaottenendo per sostituzionew n (t) = A n e −t ,A n = γ 0n1+c 2 n 2 .Quindi le k in sono determinate dalle condizioni iniziali mediante leα n (0) = k 1n + γ 0n1+c 2 n 2 = γ 1n,α ′ n (0) = cnk 2n − γ 0n1+c 2 n 2 = 0.R.u(x,t) = −e −tx−ππove per n ≥ 1+∞∑n=1[(γ 1n − γ )0n γ 0n1+c 2 n 2 cos(cnt)+cn+c 3 n 3 sin(cnt)γ 0n = − 2nπ , γ 1n = (−1) n+1 2nπ .+ γ 0n1+c 2 n 2e−t] sinnx,22. [9/4/2010 (ex)I] Trovare con il metodo di Fourier la soluzione diu tt −c 2 u xx = e x+t , 0 < x < L,t > 0,u x (0,t) = 0, t > 0,u(L,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < L,u t (x,0) = cosx, 0 < x < L,ove 0 < L < π/2 è una costante assegnata.Soluzione198