Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

320. Formula di D’Alembert per problemi al contornoIn modo simile si estende u 1 . Poi entrambi i dati si estendono a tutto R comefunzioni periodiche di periodo 4π.R.u(x,t) = 1 [ũ0 (x+ct)+ũ 0 (x−ct) ] + 1 x+ct ∫ũ 1 (s)ds,22cx−ctove ũ 0 e ũ 1 sono funzioni periodiche di periodo 4π tali che⎧−cos x , −π < x < 0,2⎪⎨ cos xũ 0 (x) =2 , 0 < x < π,−cos x 2 , π < x < 2π,⎪⎩cos x , 2π < x < 3π,2eũ 1 (x) ={x|x|, −π < x < π,(2π −x)|2π −x|, π < x < 3π.24. [28/3/2008 (ex)II] Trovare con la formula di D’Alembert la soluzionediR.u tt −c 2 u xx = 0 0 < x < π ,t > 0,2u(0,t) = 0, t > 0,u(x,t) = 1 2u x( π2 ,t )= 0, t > 0,u(x,0) = cos x 2 , 0 < x < π 2 ,u t (x,0) = x 2 , 0 < x < π 2 .[ũ0 (x+ct)+ũ 0 (x−ct) ] + 1 2c∫x+ctx−ctove ũ 0 e ũ 1 sono funzioni periodiche di periodo 4π tali che⎧−cos x 2 , − π 2 < x < 0,⎪⎨ cos xũ 0 (x) =2 , 0 < x < π 2 ,sin x 2 , π2 < x < π,⎪⎩ −sin x 2 , π < x < 3π 2 ,ũ 1 (s)ds,e⎧⎨x|x|, − πũ 1 (x) =2 < x < π 2 ,⎩ π(π −x)|π −x|,2 < x < 3π 2 .82