Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinatePerciò( 1)v(r,ϕ) = vcosϕ ,ϕ +∫ r1cosϕDunque, tornando alle coordinate cartesiane,L’aperto massimale di definizione èϕds = atgϕ+ϕln(rcosϕ).su(x,y) = a y x +ln(x)arctg y x .Ω = {x > 0}.Su Ω ∩{1 < x < 2} = (1,2)×R, i terminiln(x), arctg y x ,sono limitati. Invece ∣ ∣∣ y∣ → ∞, |y| → ∞.xPertanto l’unico valore di a che rende u limitata ove richiesto è a = 0.R.u(x,y) = a y x +ln(x)arctg y x ,a = 0.(x,y) ∈ Ω = (0,∞)×R.46. [13/7/2009 (ex)II] Trovare la soluzione u(x,y) del problemaxu x +yu y = arctg y x ,u(1,s) = ln(1+as 2 ), s ∈ R,ove a ≥ 0 è una costante.Determinare anche l’aperto massimale di definizione Ω, e i valori di a cherendono la soluzione limitata inΩ ∩{1 < x < 2}.R.[ ( y 2 ]u(x,y) = ln 1+a +ln(x)arctgx) y x ,a = 0.(x,y) ∈ Ω = (0,∞)×R.47. [15/9/2009 (ex)I] Si calcoli la soluzione del problemaxu x +yu y = x+y,u(x,y) = a(x+y), x 2 +y 2 = 1,54