Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

610. Fourier equazione delle ondeSoluzioneRiportarsi nell’intervallo (0,π) per sviluppare 1 in serie di seni.u(x,t) =∞∑n=1( nπ) ( nπ)β n sinL x cosL ct ,β n = 2 (1−(−1)n ) .nπ2. [19/3/2003 (hw)I] Risolvere con il metodo di Fourier il problemau tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,t > 0,u x (0,t) = t 2 , t > 0,u(π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < π,u t (x,0) = 0, 0 < x < π.SoluzionePoniamo v = u−(x−π)t 2 . Allora v soddisfav tt −c 2 v xx = −2(x−π), 0 < x < π,t > 0,v x (0,t) = 0, t > 0,v(π,t) = 0, t > 0,v(x,0) = 0, 0 < x < π,v t (x,0) = 0, 0 < x < π.Riflettiamo v in modo dispari intorno a x = π; chiamiamo w questa riflessione.Allora w risolve il problemaw tt −c 2 w xx = −2(x−π), 0 < x < 2π,t > 0,w x (0,t) = 0, t > 0,w x (2π,t) = 0, t > 0,w(x,0) = 0, 0 < x < 2π,w t (x,0) = 0, 0 < x < 2π.Infatti le riflessioni dispari dei dati iniziali e della funzione sorgente nell’equazionedelle onde sono quelle indicate nel problema per w. Rappresentiamocosicché gli a n soddisfanow(x,t) = a 0 (t)+∞∑ ( nx)a n (t)cos ,2n=1a ′′ n + c2 n 24 a n = f n , a n (0) = 0, a ′ n (0) = 0.176