Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

520. Formula di rappresentazione eq. del caloreoveu 0 (x) = 1−χ (0,1) (x) =allora per ogni x ∈ R fissatolim u(x,t) = 1.t→∞{1, x ∉ (0,1),0, x ∈ (0,1),5. [30/6/2003 (ex)I] Consideriamo le tre funzioni u 1 , u 2 , u 3 soluzionilimitate diu 1t −u 1xx = 0, x ∈ R,0 < t < ∞,u 1 (x,0) = χ (0,+∞) (x)arctgx, x ∈ R;u 2t −u 2xx = 0, x ≥ 0,t ≥ 0,u 2 (0,t) = 0, t ≥ 0,u 2 (x,0) = arctgx, x ≥ 0;u 3t −u 3xx = 0, x ≥ 0,t ≥ 0,u 3x (0,t) = 0, t ≥ 0,u 3 (x,0) = arctgx, x ≥ 0.Mostrare cheu 2 (x,t) < u 1 (x,t) < u 3 (x,t), per ogni x > 0, t > 0.6. [30/6/2003 (ex)II] Consideriamo le tre funzioni u 1 , u 2 , u 3 soluzionilimitate diu 1t −u 1xx = 0, x ∈ R,0 < t < ∞,1u 1 (x,0) = χ (0,+∞) (x)x 2 +1 , x ∈ R;u 2t −u 2xx = 0, x ≥ 0,t ≥ 0,u 2 (0,t) = 0, t ≥ 0,u 2 (x,0) = 1x 2 +1 , x ≥ 0;u 3t −u 3xx = 0, x ≥ 0,t ≥ 0,u 3x (0,t) = 0, t ≥ 0,u 3 (x,0) = 1x 2 +1 , x ≥ 0.135