Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

630. Fourier equazione di LaplaceInvece per n = 0 si haα ′′0 = γ 00 (y)− 2 π := 1 π(α 0 − π )= γ 10 := − 1 2 πα ′ 0( π= 1.2)π∫2− π 2π∫2− π 2f(x,y)dx− 2 π , − π 2 < y < π 2 ,x 2π dx = − π 12 .,Si ha con i calcoliγ 0n (y) = 2 (yπn sinn + π ), n ≥ 1,γ 00 (y) = y 2 π + 1 2 ,eγ 1n = 2 (−1)n+1 −1πn 2 , n ≥ 1,γ 10 = − π 12 .PertrovarelasoluzionedeiproblemidiCauchyper α n osserviamocheunasoluzioneparticolare di (1) per n ≥ 1 è data da(w n (y) = C 1n sinn y + π ) (+C 2n cosn y + π ),2 2ove le costanti C 1n e C 2n si determinano sostituendo la w n nella e.d.o.. Si ottienecosìw n (y) = − 1 (yπn 3 sinn + π ).2Dunque la soluzione del problema di Cauchy si trova imponendo i dati inizialinell’integrale generaleα n (y) = k 1n e ny +k 2n e −ny +w n (y).Se invece n = 0, si ha integrando direttamente la e.d.o.(α 0 (y) = y3 16π + 4 − 1 )y 2 +k 10 y +k 20 .πLe costanti di integrazione k 1n , k 2n si determinano imponendo le condizioni alcontorno.R.oveu(x,y) = x2π + y3( 16π + 4 − 1 π∞∑+n=1) (y 2 + 2− 3π )y + π 8 3 − 7π96[k 1n e ny +k 2n e −ny − 1πn 3 sinn (y + π 21( (−1)nk 1n =e nπ +e −nπ πn 3 e (−1) n+1 −1nπ2 +2πn 21( (−1)n+1(−1) n+1 −1k 2n =e nπ +e −nπ πn 3 e −nπ 2 +2πn 2)] (cosn x+ π ),2)e −nπ 2 ,)e nπ2 .227