Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

605. Calcolo di serie di Fouriere calcolarli (solo per questa tra le quattro serie).f(x) = 1+ π2 (x−4 − π ) 2 ∑∞ ∞∑= a n sinnx = α n cosnx;2n=1 n=0g(x) = π2 (x−4 − π ) 2 ∑∞ ∞∑= b n sinnx = β n cosnx.2n=1SoluzioneCome è noto, sviluppare una funzione in (0,π) in serie di seni [coseni] equivale asvilupparne l’estensione dispari [pari] a (−π,π) in serie di Fourier.Delle quattro estensioni l’unica di classe C 1 , quando è poi estesa periodicamente aR, è quella dispari di g. Dunque i coefficienti cercati sono i b n .Con i calcoli si hab n = 2 π= 2 π∫ π0∫ π0{= 2 −− 2 π[ π24 − (x− π 2(πx−x 2 )sin(nx)dx[ cos(nx)n] πx + 10n)]sin(nx)dx∫ π{− 1 [x 2 cos(nx) ] πn 0 + 2 n= − 2π n (−1)n − 2 π= 4πn 3[1−(−1)n ].0{(−1) n+1π2}cos(nx)dx∫ π0n=0}xcos(nx)dxn + 2 n 2 [xsin(nx)]π 0 − 2 ∫πn 20}sin(nx)dxR.b n = 4πn 3[1−(−1)n ].25. [12/2/2009 (ex)II] Determinare quale dei seguenti sviluppi in serie inL 2 ((0,π)) ha i coefficienti che tendono a zero più rapidamente per n → ∞,e calcolarli (solo per questa tra le quattro serie).f(x) = π 2 −(2x−π) 2 =∞∑a n sinnx =n=1g(x) = π 2 −(2x−π) 2 −2 =∞∑α n cosnx;n=0∞∑b n sinnx =n=1∞∑β n cosnx.n=0174