Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristicheQuesto semipiano è l’insieme coperto dalle caratteristiche al suolo che incontranola parabola che porta il dato.Sappiamo che la soluzione sarà definita in un aperto che conterrà il ramo inferiore(ove y < 0) della parabola: quindi, almeno per tale porzione di curva, dovremoscegliere la soluzione negativa tra le due possibili, per cuis = 1−√ 1−4(y −x)2, τ = y − 1−√ 1−4(y −x)2In realtà questa scelta del segno permette di giungere fino al valore s = 1/2. Incorrispondenza si trova la soluzioneu(x,y) = y − 1−√ 1−4(y −x)2(√1− 1−4(y −x)+cos2che però, come si verifica con un calcolo diretto, ha derivate che divengono discontinueproprio nel punto (1/2,1/4) corrispondente a s = 1/2. Quindi va scelto sopraα = 1/2.R.u(x,y) = y − 1−√ 1−4(y −x)2y < x+ 1 4 .(√1− 1−4(y −x)+cos2.),),2. [16/4/2003 (ex)I] Si consideri la equazione del primo ordineu x +cosxu y = u, (x,y) ∈ R 2 .a) Se ne determinino le caratteristiche al suolo.b) Si risolva l’equazione scritta come e.d.o. sulle caratteristiche.c) Si dia unacondizione su α > 0 perché tutta la retta y = αx sia accettabilecome curva che porta il dato in un problema di Cauchy per l’equazione data.Si interpreti geometricamente la condizione ottenuta.Soluzionea) Troviamo le curve caratteristiche al suolo risolvendoϕ ′ 1 = 1,ϕ 1(0) = ¯x,ϕ ′ 2 = cosϕ 1 , ϕ 2 (0) = ȳ,ove con (¯x,ȳ) denotiamo un punto per cui passa la caratteristica, per ora del tuttogenerico. La soluzione è(ϕ1 (τ),ϕ 2 (τ) ) = ( τ + ¯x,sin(τ + ¯x)+ȳ −sin(¯x) ) , −∞ < τ < ∞.b) L’equazione differenziale sulle caratteristiche èdUdτ = U ,3