Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinatee trovarne l’aperto massimale di definizione. Esprimere la soluzione sia incoordinate polari che in coordinate cartesiane.12. [15/9/2004 (ex)II] Risolvereyu x −xu y = 2y,u(y,y) = x 2 +y 2 , y < 0.13. [4/2/2005 (hw)I] Trovare tutte le soluzioni di(x,y)·∇u(x,y)+D 2 u(x,y)(x,y)·(x,y) = √ x 2 +y 2 ,definite in R 2 \{(0,0)}. Qui D 2 u(x,y) indica la matrice hessiana:( )D 2 uxx (x,y) uu(x,y) =xy (x,y),u xy (x,y) u yy (x,y)e quindi D 2 u(x,y)(x,y)·(x,y) la forma quadraticax 2 u xx (x,y)+2xyu xy (x,y)+y 2 u yy (x,y).(Sugg. Passare a coordinate polari, è ovvio).R.u(x,y) = √ x 2 +y 2 +c 1 (ϕ)ln √ x 2 +y 2 +c 2 (ϕ),ove c 1 e c 2 sono arbitrarie funzioni in C 2 (R), periodiche di periodo 2π.14. [1/4/2005 (ex)I] Risolvere⎧⎨ xu x +yu y = 1,⎩u(cosϕ,sinϕ) = ϕ 2 , − π 2 < ϕ < π 2(esprimere la soluzione sia in coordinate polari che cartesiane).SoluzionePassando a coordinate polari, e ponendo v(r,ϕ) = u(x,y), si ha⎧⎨ rv r = 1,⎩v(1,ϕ) = ϕ 2 , − π 2 < ϕ < π 2da cui, integrando l’equazione differenziale,e usando poi il dato di Cauchy,v(r,ϕ) = lnr +C(ϕ),v(r,ϕ) = lnr+ϕ 2 , r > 0,− π 2 < ϕ < π 2 .38