Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

530. Formula di rappresentazione eq. di Laplace nel semipiano9. [14/4/2004 (ex)I] Scrivere mediante la formula di rappresentazione lasoluzione di∆u = 0, x > 0,y < 0,u y (x,0) = 0, x > 0,u(0,y) = cos(y 2 ), y < 0.SoluzioneSi tratta di riflettere in modo pari intorno a y = 0 il dato su x = 0 per ottenere ilproblema nel semipiano x > 0∆v = 0, x > 0,v(0,y) = cos(y 2 ), −∞ < y < ∞.Poi si applica la formula risolutiva per l’equazione di Laplace nel semipiano.R.u(x,y) = 1 ∫ ∞xπ x 2 +(y −η) 2 cos(η2 )dη, x > 0,y < 0.−∞10. [14/4/2004 (ex)II] Scrivere mediante la formula di rappresentazione lasoluzione di∆u = 0, x > 0,y < 0,u(x,0) = 0, x > 0,u(0,y) = sin(y 2 ), y < 0.R.u(x,y) = 1 π∫ ∞−∞xx 2 sin(−η|η|)dη, x > 0,y < 0.+(y −η)211. [14/4/2005 (ex)I] Sia u 0 : R → R una funzione continua e limitata noncrescente, cioè tale cheu 0 (x 2 ) ≤ u 0 (x 1 ), per ogni x 1 , x 2 ∈ R, x 2 ≥ x 1 .Dimostrare che la soluzione limitata disoddisfa∆u = 0, −∞ < x < ∞,0 < y,u(x,0) = u 0 (x), −∞ < x < ∞,u(x 2 ,y) ≤ u(x 1 ,y), per ogni x 1 , x 2 ∈ R, x 2 ≥ x 1 e y > 0.150