Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristichee trovare il più grande aperto ove è possibile definire la soluzione, dimostrandoche esso giace in un semipiano della forma {x > x 0 }, con 0 > x 0 >−∞.19. [23/6/2005 (ex)II] Risolvere il problema di Cauchyyu x −u y = − 1 u ,u(s,0) = −s 2 , −1 < s < 0,e trovare il più grande aperto ove è possibile definire la soluzione, dimostrandoche esso giace in un semipiano della forma {y > y 0 }, con 0 > y 0 >−∞.Soluzione1) Troviamo le caratteristiche al suoloϕ ′ 1 = ϕ 2, ϕ 1 (0) = s,ϕ ′ 2 = −1, ϕ 2(0) = 0,da cui(ϕ1 (τ;s),ϕ 2 (τ;s) ) )=(s− τ22 ,−τ , −∞ < τ < ∞.2) Risolviamo poi la e.d.o. sulle caratteristiche al suoloPer separazione di variabili si ottieneda cuidUdτ = − 1 U ,U(0) = −s 2 .U(τ) 2 −U(0) 2 = −2τ ,U(τ;s) = − √ s 4 −2τ , τ < s42 .3) Torniamo alle variabili (x,y) risolvendo il sistemache dàs− τ22 = x,−τ = y,τ = −y, s = x+ y22 ,dove va imposta la condizione, visto che vogliamo che la caratteristica al suoloincontri la curva che porta il dato,−1 < x+ y22< 0. (1)11