Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

430. Applicazioni del principio di max a prb per eq. di LaplaceR.a > 4.13. [12/2/2009 (ex)I] Determinare tutti i punti di massimo in Ω dellasoluzione di∆u = πx 2 , in Ω,u(x,y) = x 2 + 1 9 y2 ,su ∂Ω,,oveΩ ={(x,y) | 1 < x24 + y2 }9 < 4 .SoluzionePeril principio del massimo, visto che∆u ≥ 0in Ω, i massimidevonoessereassuntisul bordo, che è costituito dalle due ellissi{ x2 } {E 1 =4 + y2 x2 }9 = 1 , E 2 =4 + y29 = 4 .È chiaro che il massimo è assunto su E 2 , per la forma del dato. Su E 2 si hau(x,y) = x 2 + 1 9(36− 9 4 x2) = 3 4 x2 +4.PerciòR.maxu = maxu = u(±4,0) = 16.Ω E 2maxu = u(±4,0) = 16.Ω14. [12/2/2009 (ex)II] Determinare tutti i punti di minimo in Ω dellasoluzione di∆u = −y 2 , in Ω,u(x,y) = x 2 +2y 2 ,su ∂Ω,,oveR.Ω ={(x,y) | 1 < x29 + y24 < 4 }.minu = u(0,±2) = 8.Ω110