Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

605. Calcolo di serie di FourierCalcoliamo:α n = 1 π= 2 π= 2 π∫ π−ππ∫20∫ π0f(x)sinnxdx = 2 πxsinnxdx+ 2 πxsinnxdx−2∫ ππ2∫ ππ2∫ π0f(x)sinnxdx(x−π)sinnxdxsinnxdx = − 2 (n cos n π ).2R.f(x) =∞∑k=11k (−1)k sin2kx.18. [28/3/2008 (ex)I] Data la funzionesolo uno dei due sviluppif(x) = α 0 +f(x) = x 2 (π −x), 0 < x < π,∞∑α n cos(nx), f(x) =n=1soddisfa la maggiorazione∞∑β n sin(nx),n=1|coefficiente n-esimo| ≤ costanten 3 .Dire quale è e determinarne i coefficienti.SoluzioneLo sviluppo in serie di seni corrisponde allo sviluppo di Fourier dell’estensionedispari della f, mentre quello in serie di coseni all’estensione pari.Tra le due estensioni, quella dispari è più regolare perchè è l’unica che risulta diclasse C 1 .Calcoliamo quindi i coefficienti della serie di seni:2π∫ π0x 2 sin(nx)dx = 2 π[−x 2cos(nx)] π+ 4n0πn= 2π n (−1)n+1 − 4∫πn 2 π0∫ π0sin(nx)dx= 2π n (−1)n+1 + 4πn 3[(−1)n −1].xcos(nx)dx170