Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

480. Semplici problemi al contorno per l’equazione di Laplacedel problema∆u = 0, 1 < x 2 +y 2 < 4,u(x,y) = 1, x 2 +y 2 = 1,∂u∂n = 1, x2 +y 2 = 4.SoluzioneIn coordinate polari il problema diviene1r (rv r) r = 0, 1 < r < 2,v(1) = 1,∂v(2) = 1.∂rL’integrale generale dell’equazione differenziale èv(r) = k 1 lnr+k 2 ,e le costanti k i si determinano con le condizioni alla frontiera:v(1) = k 2 = 1,v r (2) = k 12 = 1.R.u(x,y) = ln(x 2 +y 2 )+1, 1 < x 2 +y 2 < 4.19. [14/12/2007 (ex)I] Trovare tutte le soluzioni radialidel problemaSoluzioneIn coordinate polari il problema divieneu(x,y) = v ( √x 2 +y 2) ,1∆u = ,(x 2 +y 2 ) 1 21 < x 2 +y 2 ,∂u∂n = 0, x2 +y 2 = 1.1r (rv r) r = 1 r , 1 < r,∂v(1) = 0.∂r130