Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali
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320. Formula <strong>di</strong> D’Alembert per problemi al contornoove u e v risolvonoR.u tt −c 2 u xx = 0, v tt −c 2 v xx = 0, x > 0,t > 0,u x (0,t) = 0, v x (0,t) = 0, t > 0,u(x,0) = sinx 4 , v(x,0) = sin(x 4 +ε), x > 0,u t (x,0) = 0, v t (x,0) = 0, x > 0.ε < 1100 .17. [20/9/2006 (ex)I] Risolvere, usando la formula <strong>di</strong> D’Alembert, il problemau tt −c 2 u xx = 0, 1 < x,0 < t,u x (1,t) = 0, 0 < t,u(x,0) = x, 1 < x,u t (x,0) = cos(x 2 ), 1 < x.SoluzioneOccorre riflettere in modo pari i dati intorno a x = 1. La riflessione <strong>di</strong> u(x,0) è{x, x > 1,ũ 0 (x) =2−x, x < 1,mentre quella <strong>di</strong> u t (x,0) èũ 1 (x) ={cos(x 2 ), x > 1,cos((2−x) 2 ), x < 1,La formula <strong>di</strong> D’Alembert quin<strong>di</strong> fornisce la soluzioneper x > 1.R.ũ 0 (x) =u(x,t) = 1 2[ ]ũ 0 (x+ct)+ũ 0 (x−ct) + 1 2c{x, x > 1,2−x, x < 1;ũ 1 (x) =∫x+ctx−ctũ 1 (s)ds,{cos(x 2 ), x > 1,cos((2−x) 2 ), x < 1,18. [15/12/2006 (ex)I] Trovare la soluzione <strong>di</strong>u tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u x (π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 1, 0 < x < π,u t (x,0) = x, 0 < x < π,78