Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

605. Calcolo di serie di Fourier6. [31/3/2004 (ex)II] Una delle due funzioni seguenti non si può svilupparein serie di Fourier in (−π,π). Dire quale è, e perché. Trovare quindi losviluppo dell’altra.1) f(x) =1√ π −x;2) g(x) = e |x| +x.7. [28/6/2004 (ex)I] Una sola delle seguenti funzioni f, g, h, definite in(0,π), ha un’espansione in serie di seni su (0,π) tale che i suoi coefficientiβ n soddisfino|β n | ≤ costanten 2 , n ≥ 1;Dire quale è, come la si identifica, e calcolarne i coefficienti:f(x) = (π −x) 2 , g(x) = x(π −x), h(x) = x.8. [28/6/2004 (ex)II] Una sola delle seguenti funzioni f, g, h, definite in(0,π), ha un’espansione in serie di seni su (0,π) tale che i suoi coefficientiβ n soddisfino|β n | ≤ costanten 2 , n ≥ 1;Dire quale è, come la si identifica, e calcolarne i coefficienti:∣f(x) = |π −x|, g(x) = ∣x− π ∣ , h(x) = π ∣ ∣∣x−2 2 − π∣ .29. [1/4/2005 (ex)I] Calcolare lo sviluppooveSoluzioneScriviamof(x) = a 0 +∞∑a n cos(nx)+b n sin(nx),n=1f(x) = π −|x|+χ (0,1) (x), −π < x < π.f(x) = g(x)+χ (0,1) (x),con g(x) = π−|x|. Calcoliamo prima i coefficienti dello sviluppog(x) = α 0 +∞∑α n cos(nx)+β n sin(nx).n=1164