Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

620. Fourier equazione del calore dim. 1R.oveu(x,t) = 2 π x+∞∑n=1γ 0n = 2(−1)n+1n[(γ 2n − 2 π γ 0n − γ 0nn 2 + γ 1nn 4 )e −n2t + γ 0nn 2 − γ 1nn 4 + γ 1nn 2 t ]sin(nx),, γ 1n = 2πn [1−(−1)n ],γ 2n = 2(−1)n+1πsinπ 2 nn 2 −π 2 .17. [12/7/2007 (ex)II] Trovare con il metodo di Fourier la soluzione diu t −u xx = t+cosx, 0 < x < π,0 < t < ∞,u(0,t) = 1, 0 < t < ∞,u(π,t) = 0, 0 < t < ∞,u(x,0) = 0, 0 < x < π.R.oveu(x,t) = 1− x π∞∑ [(+ −γ 1n + 1 π γ 2n − γ 0nn 2 + γ )1nn 4 e −n2t + γ 0nn 2 − γ 1nn 4 + γ ]1nn 2 t sin(nx),n=1γ 0n = 2 nπ [1−(−1)n+1 ]n 2 −1 , n > 1, γ 01 = 0;γ 1n = 2πn [1−(−1)n ]; γ 2n = 2 n (−1)n+1 ; n ≥ 1.18. [18/4/2008 (ex)I] Trovare con il metodo di Fourier la soluzione diu t −Du xx = F(x,t), 0 < x < π,t > 0,u x (0,t) = 0, t > 0,u x (π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < π,ove, per due costanti positive λ e µ, si definisce⎧⎨λ, µt < x < π,t < πF(x,t) =µ ,⎩0, altrimenti.208