Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

480. Semplici problemi al contorno per l’equazione di LaplaceSe poi α = 2, si ha come soprada cui,∂∂r (rv r) = r −α+1 = r −1 , r > 1,rv r (r) =Dividendo per r e integrando si ha∫ r1v(r)−v(1) =Anche quest’integrale diverge per r → ∞.ρ −1 dρ = lnr.∫ r1lnss ds.21. [14/7/2008 (ex)II] Si considerinolesoluzioni (radiali) u ∈ C 2 ({x 2 +y 2 ≥1}) del seguente problema:∆u = ( √x 2 +y 2) α ,√x 2 +y 2 > 2,∇u(x,y)·ν = 0,√x 2 +y 2 = 2,ove ν è la normale a √ x 2 +y 2 = 2, e α < 0 è assegnata ad arbitrio.Si dimostri chelim u(x,y) = ∞.x 2 +y 2 →∞22. [11/1/2010 (ex)I] Sia Ω = (0,1)×(0,1), e si considerino i due problemial contorno∆u = 0, ∆v = 0, in Ω,u(x,0) = 1, v(x,0) = 2, 0 < x < 1,u(x,1) = 1, v(x,1) = 2, 0 < x < 1,u(0,y) = 0, v(0,y) = −1, 0 < y < 1,u(1,y) = 0, v(1,y) = −1, 0 < y < 1.Dimostrare che vale( 1u2 , 1 ( 1= v2)2 , 1 .2)(Sugg.: usare le simmetrie del problema, e il teorema di unicità di soluzioni.)SoluzioneDefiniamow(x,y) = v(x,y)−u(x,y).132