Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

310. Formula di D’AlembertSi noti che queste uguaglianze valgono per ogni valore di y e z negli intervallispecificati. Dunque si avràu(x,t) = f(x−ct)+g(x+ct) = f(z)+g(y) = −g(2L−z)+g(y)= f(0)−f(0) = 0,ammesso che si possano scegliere y e z in modo che:x−ct = z ∈ [0,L],x+ct = y ∈ [0,2L],cosicché valga anche 2L−z ∈ [0,2L]. Questo conduce act ≤ x ≤ L+ct,−ct ≤ x ≤ 2L−ct.R.Ω = {(x,t) | ct < x < L+ct,−ct < x < 2L−ct}.11. [12/1/2009 (ex)II] Una funzione u ∈ C 2 (R 2 ) soddisfau tt −c 2 u xx = 0, in R 2 ,u(ct,t) = 0, 0 ≤ t ≤ L c ,(u x, L )= 0, 0 ≤ x ≤ L,cove L, c sono costanti positive.Determinare un aperto Ω di R 2 ove u ≡ 0.R.Ω = {(x,t) | −L+ct < x < ct,−ct < x < 2L−ct}.310. Formula di D’Alembert1. [30/1/2003 (hw)I] Consideriamo la soluzione u diu tt −c 2 u xx = 0, x ∈ R, t > 0,u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R,u t (x,0) = u 1 (x), x ∈ R.Assumiamo che u 0 ≡ 0. Dimostrare che, se u 1 è integrabile in R, alloraesiste, per ogni fissato x,lim u(x,t) = U ∞,t→∞ove la costante U ∞ è indipendente da x.66