Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

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250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinateIl parallelogramma U 0 corrisponde all’aperto Ω 0 del piano (x,y) definito daΩ 0 = ⋃I s ,2π
250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinateL’aperto massimale di definizione è il semipiano x > 0 che è coperto dalle caratteristicheal suolo (cioè le semirette uscenti dall’origine) che intersecano la rettax = 2.R.u(x,y) = x+y −1−2 y x , x > 0;v(r,ϕ) = rcosϕ+rsinϕ−1−2tgϕ, − π 2 < ϕ < π 2 .25. [7/4/2006 (ex)II] Risolverexu x +yu y = y −x,u(s,−1) = 0, s ∈ R,esprimendo la soluzione sia in coordinate cartesiane che polari. Specificarel’aperto massimale di definizione della soluzione.R.u(x,y) = y −x+1− x y , y < 0;v(r,ϕ) = rsinϕ−rcosϕ+1−cotgϕ, −π < ϕ < 0.26. [20/4/2006 (ex)I] Si considerino tutte le soluzioni dixu x +yu y = f( √ x 2 +y 2 ),u(cosϕ,sinϕ) = u 0 (ϕ), 0 < ϕ < π.È possibile scegliere f ∈ C 0 ((0,∞)) indipendente da u 0 in modo che valgauna sola delle due condizioniA) lim u(x,y) = 0, B) lim u(x,y) = +∞,(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)per tutti gli u 0 ∈ C 1 ([0,π]).Dire quale delle due condizioni A) e B) è possibile soddisfare, dando unesempio esplicito di f.SoluzioneIn coordinate polari, denotando con v l’incognita, il problema si scrive comerv r (r,ϕ) = f(r),v(1,ϕ) = u 0 (ϕ).Perciò∫ rv(r,ϕ) = v(1,ϕ)+1f(s)s∫ rds = u 0 (ϕ)+1f(s)sds, r > 0.43
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