Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristicheR.u(x,y) = −x− 1 y .42. [16/9/2008 (ex)I] Trovare la soluzione disinyu x +2u y = √ u,u(s,0) = s, 0 < s < ∞.SoluzioneA) Risolviamo il sistema delle caratteristiche al suoloϕ ′ 1 = sinϕ 2 , ϕ 1 (0) = s,ϕ ′ 2 = 2, ϕ 2(0) = 0.La seconda equazione è indipendente dalla prima. Risolvendo la seconda equazionee poi la prima, che diviene così di integrazione elementare, si ottiene la soluzione(ϕ1 (τ;s),ϕ 2 (τ;s) ) =(− 1 2 cos2τ + 1 )2 +s,2τ , −∞ < τ < ∞.B) Risolviamo poi il problema di Cauchy per l’equazione differenziale sulle caratteristicheal suolodUdτ = √ U ,U(0) = s.Si ottiene ( √s+ τ) 2, √U(τ;s) = −2 s < τ < ∞.2C) Torniamo alle coordinate cartesiane, risolvendo il sistemache dà− 1 2 cos2τ + 1 +s = x,22τ = y,s = x+ 1 2 cosy − 1 2 ,y = 2τ .R.( √u(x,y) = x+ 1 2 cosy − 1 2 + y ) 2,4x > 1−cosy√, y > −4 x+ 1 22 cosy − 1 2 .27