Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristiche27. [20/4/2006 (ex)II] Risolvere il problema di Cauchyyu x −u y = −e u ,u(s 2 ,s) = s 2 , −1 < s < 0,determinando anche l’aperto massimale di definizione della soluzione.R.( √ )u(x,y) = −ln e −y2 +2x y2 +2x3 −y − ,3definita in{0 < y 2 +2x < 3}∩{e −y2 +2x3 −y −√ }y2 +2x> 0 .328. [6/7/2006 (ex)I] Risolvere il problema di Cauchyxu x −2(1−y)u y = xu,u(s,0) = s, −∞ < s < ∞.Determinare anche l’aperto massimale di definizione della soluzione.SoluzioneTroviamo le curve caratteristiche al suolo risolvendo il sistemaϕ ′ 1 = ϕ 1, ϕ 1 (0;s) = s,ϕ ′ 2 = −2(1−ϕ 2 ), ϕ 2 (0;s) = 0.Questo sistema ammette l’unica soluzione(ϕ1 (τ;s),ϕ 2 (τ;s) ) = ( se τ ,1−e 2τ) , τ ∈ R.Risolviamo poi il problema di Cauchy per l’equazione differenziale sulle caratteristicheal suolo:che ha come soluzioneU ′ = se τ U ,U(0;s) = s,U(τ;s) = se seτ −s , τ ∈ R.Infine torniamo alle variabili (x,y), risolvendo il sistemase τ = x,1−e 2τ = y.Da quiτ = 1 2 ln(1−y), s = x√ 1−y,16