Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristichespecificandone l’aperto massimale di definizione Ω e dimostrando cheΩ ⊂ {(x,y) | x > ye −2 > 0}.R.( √ xu(x,y) = ln e −√xy +ln , in Ω = {(x,y) | x > yexy}.y)−2e−√36. [20/9/2007 (ex)I] Si trovi la soluzione del problema di Cauchyxu x +2yu y = xu,u(1,s) = f(s), −1 < s < 1,ove f ∈ C 1 ((−1,1)), specificandone l’aperto massimale di definizione, etrovando la condizione necessaria e sufficiente su f perché u sia limitata suΩ.SoluzioneA) Risolviamo il sistema delle caratteristiche al suoloϕ ′ 1 = ϕ 1, ϕ 1 (0) = 1,ϕ ′ 2 = 2ϕ 2 , ϕ 2 (0) = s.Si ottiene (ϕ1 (τ;s),ϕ 2 (τ;s) ) = (e τ ,se 2τ ), −∞ < τ < ∞.Le caratteristiche al suolo sono dunque le mezze paraboley = sx 2 ,x > 0, s ∈ (−1,1).B) Risolviamo poi l’equazione differenziale sulle caratteristiche al suoloSi ottienedUdτ = eτ U ,U(0) = f(s).U(τ;s) = e eτ −1 f(s), −∞ < τ < ∞.C) Torniamo alle coordinate cartesiane, risolvendo il sistemae τ = x,se 2τ = y.Si noti che il sistema è risolubile solo se x > 0.Si trovas = y x 2 , τ = lnx.Ricordando che −1 < s < 1 si deve imporre (x,y) ∈ Ω, oveΩ = {(x,y) | x > 0,−x 2 < y < x 2 }.22