Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristicheche dàs = y √ x, τ = ln √ x.Si deve quindi avere x > 0 e y > 0, perché s > 0, e imponendo la τ > −s 2 /2 si hadai calcoli l’ulteriore restrizioney 2 > −xlnx, 0 < x < 1.R.u(x,y) =√y2x +lnx,(x,y) ∈ Ω = {x > 0,y > √ max(−xlnx,0)}.50. [15/9/2009 (ex)II] Trovare la soluzione dixu x +2yu y = 1 u ,u(s,1) = 2s, s > 0,determinando anche l’aperto massimale di definizione.R.√4xu(x,y) =2{yy +lny, (x,y) ∈ Ω = > 0,x > 1 √ }max(−ylny,0) .251. [9/4/2010 (ex)I] Si determini la soluzione del problemaxu x + y x u y = x,u(1,s) = 0, s > 0.SoluzioneA) Troviamo le curve caratteristiche al suolo, risolvendoϕ ′ 1 = ϕ 1, ϕ 1 (0) = 1,ϕ ′ 2 = ϕ 2 ϕ −11 , ϕ 2 (0) = s,da cui (ϕ1 (τ,s),ϕ 2 (τ,s) ) = (e τ ,se 1−e−τ ), τ ∈ R.B) Risolviamo poi la e.d.o. lungo le caratteristicheU ′ = e τ , U(0) = 0,da cuiU(τ,s) = e τ −1.33